lunes, 1 de noviembre de 2010

SOBRE LA HISTORIA DE LA ARITMÉTICA


1-      NOCIÓN DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMITIVOS (25,000- 5,000 A. C)  Para el hombre primitivo el medir y el contar fueron dos de sus actividades usuales. Colocando marcas en los troncos de los árboles pudieron lograr, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética.


2-      Si en un principio pareció mágica por sus  orígenes empíricos la matemática egipcia la despojó de las fantasías de lo sobrenatural.  La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió en 1650 A. C., de una obra anterior.  Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.



3-      En una ilustración basada en un friso asirio, aparece Asurbanipal (Sardanápalo) guiando a sus soldados en una batalla.  Los pueblos mesopotámicos representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo con su escritura cuneiforme; así, una marca para el uno; dos para el dos, hasta el nueve.  Para el diez, cien, etc., usaban signos convencionales.

Asurbanipal guiando a sus soldados

4-     Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático.  Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras.  Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.).  Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas.
Sistema de numeración árabe

4-      Aunque los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal.  Otros pueblos elaboraron distintos sistemas; por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte.  En el siglo XVII, Leibnitz descubrió la numeración de base binaria, y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.


Sistema de numeración babilónico


Sistema de numeración maya
Leibniz

6-     La contribución de los romanos a las Matemáticas estuvo limitada a varias   nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio.  No obstante, la huella romana se observa todavía hoy a través de su numeración, que ha sido fijada por el uso, en los capítulos de los libros; en la sucesión de los reyes; en la notación de los siglos; y, especialmente, en las inscripciones históricas.
Sistema de numeración romano

7-     El problema de las igualdades no fue conocido por los antiguos en su forma aritmética.  El primero que utilizó el signo igual (=), y expuso algunas cuestiones teóricas sobre las igualdades fue Robert Recorde, en su obra “The Ground of Arts”, publicada en Londres en 1542.  Más tarde, en el año XVII, el inglés Harriot y el francés Bouguer establecieron el uso de los signos mayor que (>) y menor que (<).
Robert Recorde


Thomas Harriot, el galileo inglés


Pierre Bouguer

8-     La primera operación aritmética que se conoció fue la suma.  Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática.  En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban contando hasta formar el llamado quipu.
Quipus
9-     El signo más antiguo para indicar la resta lo encontramos en el famoso papiro de Rhind, tal como lo escribían los egipcios (۸).  Se cuenta que los signos actuales de suma y resta se deben a que los mercaderes antiguos iban haciendo unas marcas en los bultos de mercancías.  Cuando pesaban los sacos les ponían un signo más (+) o un signo (-), según tuviera mayor o menor cantidad de la estipulada. 



10- El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los problemas teóricos de las ciencias matemáticas.  Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de su sistema de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos.  Los hindúes llegaron a cuestiones más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshalique data del siglo VII ( D.C.).

11- El complemento aritmético, que es una consecuencia del carácter decimal de nuestro sistema de numeración ha sido empleado como procedimiento auxiliar para la resolución de las operaciones de sumar y restar, y también para resolver las operaciones combinadas de suma y resta.  Tiene poco uso.

12- La operación de multiplicar resultaba muy compleja para los antiguos.  Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras.  Los babilonios empleaban tablas de cuadrados.  Entre los romanos, la operación era lenta y trabajosa, debido a su notación numeral.  El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.

13- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios.  Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi.  La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior.

14- Babilumeral.  El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.
Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios.  Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi.  La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior.

15-Babilos matemáticos tuvieran que pasar muchas vicisitudes desde el uso del rudimentario ábaco, hasta las más modernas representaciones de las operaciones indicadas.  El empleo de la raya horizontal entre los números para indicar la división, se debe a Leonardo de Pisa( Fibonaci, hijo de Bonaci), que la tomó de los textos árabes.

16- A partir de   los trabajos de interpretación de la escritura cuneiforme en 1929 por O. Neugebauer, se ha puesto de relieve la contribución babilónica al progreso de las matemáticas.  En las tablillas y puestas en lenguas modernas, y que datan de 2000- 1200 A. C., aparecen infinidad de problemas resueltos de modo ingenioso.  Estos problemas tuvieron su origen en la activa vida comercial del puesto babilónico.

17- De unas tablillas encontradas en las orillas del Eufrates, se deduce que los primeros que aplicaron la elevación a potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación sin necesidad de recurrir al ábaco, pues empleaban la tabla de cuadrados, al basarse en el principio que dice “el producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”.

18- Hacia el siglo III (A. C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas. La misma palabra Aritmética es de origen griego.  Para ellos, esta ciencia era una rigurosa teoría de los números.  Sus investigaciones los llevaron muy pronto al concepto de número primo, de donde partió Eratóstenes para descubrir su curioso método de determinación de los números primos en la serie natural.

19- Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo  que había alcanzado la teoría de los números.  Los hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete.  Griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares o impares.  El genial matemático francés Blas Pascal (1623- 1662), propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.

20- Euclides, hacia el 300 A. C., demostró en sus “Elementos”, los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros, lo que permite a Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética.  Más tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind (1831- 1916), llevó a cabo la generalización de los caracteres de divisibilidad, extendiéndolos a los números racionales y a los ideales. ( o imaginarios).

21- Al descubrir Euclides la infinitud de la serie de los números primos, alcanzó su máximo desarrollo la teoría de los números entre los griegos.  No se volvieron a hacer progresos en este campo, hasta que Fermat, en 1630-65, propuso su teorema sobre los exponentes primos.  L. S. Dickson afirma en su “History of theory of numbers” que los chinos ya conocían este problema en el 500 A. C., cuando el número era dos.

22- Con los trabajos de Fermat (1601-65), Euler (1707-1783) y Gauss (1777- 1855) sobre la teoría de los números, se echaron las bases de la Aritmética moderna o superior.  En 1850,Tchebycheff realizó un notable progreso sobre los números primos.  En 1932, el francés Landau, completó el trabajo de aquel sobre la distribución de los números primos, demostrando lo que el inglés Hardy llamó teorema de Tauber.

23- En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época.  Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”.  Entre los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución del Máximo Común Divisor (M.C.D.), que hoy llamamos de divisiones sucesivas.

24- No se olvidó Euclides en sus “Elementos”, de ofrecer un método para la resolución del Mínimo Común Múltiplo ( M. C. M.), de dos números. Para resolver el M. C. M., Euclides propuso la siguiente regla: “El producto de dos números dividido entre el M. C. D. de ambos números, da el Mínimo Común Múltiplo”.  Como se ve  este procedimiento resultaba más trabajoso que el que utilizamos en la actualidad.

25- El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy remoto.  Los babilonios, egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones.  Cuando Juan de Luna tradujo al latín, en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi, empleó fractio para traducir la palabra árabe al-kasr, que significa quebrar, romper.  Este uso se generalizó junto con la forma ruptus, que prefería Leonardo de Pisa.

26- Los números fraccionarios tuvieron su origen en las medidas.  Los babilonios utilizaban como único denominador el sesenta.  Los egipcios empleaban la unidad como numerador; para representar7/8, escribían, ½, ¼, 1/8.  Los griegos marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o colocaban al denominador como un exponente.  Hiparco introdujo las fracciones babilónicas en la Astronomía griega.

27- Las reglas para la resolución de las operaciones con números fraccionarios o quebrados, datan de la época de Aryabhata, siglo VI y Bramagupta, siglo VII, ambos después de Jesucristo.  Un estudio más amplio y sistemático  de las operaciones con quebrados lo ofrecieron los también hindúes, Mahavira, en el sigloIX y Bháskara en el siglo XII. Dichas reglas son las mismas que se emplean actualmente.

28- En las numerosas inscripciones egipcias descifradas se encuentran variadísimos problemas con números fraccionarios.  Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador, resolvían los problemas de la vida diaria, tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides, etcétera.  Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía actualidad.

29- Los pitagóricos aproximaban las raíces cuadradas inexactas (números irracionales) por medio de fracciones continuas.  En 1613, Cataldi las estudió.  En 1572, Bombelli aproximó las raíces cuadradas por medio de fracciones continuas, y en 1658, Brouncker desarrolló 4 π en fracción continua infinita.  El primer estudio sistemático sobre las mismas se debe al famoso matemáticoEuler, que lo realizó en 1837.

30- La primera discusión sistemática sobre las fracciones decimales, se debe a Simón Stevin (1548-1620), de Brujas.  En 1585 apareció publicada en Leyden su famosa obra “La Thiende”.  Esta obra fue dada a conocer por Robert Norton, en una traducción inglesa editada en Londres en 1608, bajo el título de “La Disme” o “ The Art of Tenths or Decimall Arithmetike”.  Pronto fueron adoptados los decimales.

31- Al inventar Simón Stevin las fracciones decimales introdujo para expresarlas un cero dentro de un circulo.  Este procedimiento resultaba muy engorroso.  En 1616, al publicar su obra sobre los logaritmos, Neper, Napier o Napair, dio a conocer el uso del punto decimal que se usa hoy para separar las cifras enteras de las decimales.  En algunos países este punto decimal se sustituye por una coma.

32- Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y cubos.  Diofanto, siglo III (D. C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias.  Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x.  Renato Descartes (1596-1650), introdujo la notación x, xx, x³, etc.

33- La palabra raíz viene del latín radix, radicis; pero es indudable que los árabes conocían la radicación que habían tomado de los hindúes.  Es decir, que la radicación era conocida mucho antes de que los romanos inventaran una palabra para nombrarla.  Los árabes la designaban con la palabra gidr, una traducción de la palabra sánscrita mula, que significa vegetal y también raíz cuadrada de un número.

34- Se ignora quien haya descubierto los números irracionales; pero, en cambio se sabe que los pitagóricos hacia fines del siglo V (A. C.) en Grecia, conocían la irracionalidad del radical √2 (números inconmensurables).  Dando muestras de una fina intuición matemática, los griegos de la Escuela de Crotona, trataron de hallar valores aproximados de √2, mediante soluciones sucesivas de 2x² – y² = ± 1.

35- El grado de desarrollo a que llegaron los hindúes en matemáticas se debe al carácter abstracto de su pensamiento.  Esto los llevó a plantearse problemas numéricos de mayor profundidad, mucho antes que otros pueblos preciados de más cultos y civilizados.  En el sigo VI después de Jesucristo, Aryabhata, estableció el valor aproximado de π (3.14159.....), y además dio la regla para la extracción de la raíz cuadrada.

36- Se da por seguro que fueron los hindúes los primeros en hallar las reglas para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas.  Resulta curioso conocer la terminología que ellos empleaban.  Para la raíz tenían el vocablo sánscrito mula, que además quiere decir vegetal, al cual añadían varga o ghana, y formaban las expresiones varga mula o ghana mula, que significaba raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente.

37- El primero que propuso un sistema decimal para las medidas  fue el matemático flamenco Simón Stevin.  Transcurrieron dos siglos hasta que en 1790, Talleyrand llamó la atención de la Asamblea Nacional Francesa para que buscara un sistema uniforme de medidas.  Después de designar una comisión de cinco miembros para realizar los estudios necesarios, la Asamblea adoptó el Sistema Métrico Decimal.

38- La determinación de la densidad de los cuerpos es una consecuencia del Principio de Arquímedes, célebre físico y matemático griego del siglo III, antes de Jesucristo (287-212 A. C.). Lefevre-Gineau y Giovanni Valentino Matías Fabroni, que investigaba el valor del gramo, descubrieron incidentalmente que el mínimo volumen del agua destilada se produce a los 4 grados C., que se toma como unidad.

39- Contar y medir son las primeras actividades matemáticas del hombre.  Los primitivos para medir el largo de una cosa cualquiera, utilizaban medidas basadas en el cuerpo humano.  Los egipcios, quienes llegaron a poseer un sistema de medidas bastante aceptable, emplearon las proporciones del cuerpo humano para establecer las primeras unidades de medida.  Así surgió el palmo, el pie, el cúbito, etc.

40- La geometría como ciencia empírica surgió en Egipto.  Como ciencia teórica es exclusiva de los griegos.  Euclides, un griego, le dio la estructura teórica que ha tenido hasta el nacimiento de la geometría no euclidiana.  En un documento descubierto en 1930, está el trabajo de un geómetra egipcio que en 1850 A. C., dio la fórmula 1/3 h (a² – ab + b²), para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada.

41- Los números complejos o denominados- que no deben confundirse con los números complejos de las matemáticas superiores -, tienen su origen en los sistemas de medidas.  Los babilonios dividieron el círculo en grados y minutos.  Establecieron también la división en años , meses, días, horas, minutos y segundos, basándose en su sistema sexagesimal de numeración.  Los romanos aportaron la pulgada.

42- Los antiguos tropezaban con muchas dificultades para determinar la longitud.  En el siglo II D. C., Ptolomeo estableció la longitud aproximada de cinco o seis ciudades, tomando como referencia a Alejandría.  El descubrimiento del sextante permitió a los marinos determinar la longitud exacta durante la navegación.  A fines del siglo XVII, y partiendo de los descubrimientos de Galileo, el holandés Huygens construyó los primeros relojes de péndulo, de gran precisión.

43- Los griegos tuvieron un concepto teórico de las proporciones.  La aplicación práctica del conocimiento de las proporciones se la debemos a los matemáticos italianos del Renacimiento. Regiomontano y Lucas Pacioli (Fray Lucas de Burgos) divulgaron considerablemente el empleo de las proporciones en sus leídas obras, específicamente este último, que ha pasado a la historia como el inventor de la contabilidad por partida doble.

44- Las razones y proporciones se conocen desde antiguo.  Euclides, expone en el libro V de sus “ Elementos”, la teoría de las proporciones debida a Eudoxio.  Los romanos le daban a cada proporción un nombre.  En el siglo XV(D. C.), Al-Kalsadi, empleó en su aritmética el signo ... para indicar las proporciones.  En 1537, Nicolás de Brescia (conocido por Tartaglia), escribió las proporciones así: 6//3//8//4.

45- En la evolución del concepto de función ejercieron una influencia decisiva Fourier (francés, 1758-1830), Cauchy (francés, 1789-1857), y Dirichlet (alemán, 1805-1859).  Todos los trabajos de estos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría de las funciones.  Sin embargo, fue Riemann( alemán, 1826-1866), en su tesis de 1851, quien echó las bases de la actual teoría de las funciones.

46- Aunque griegos y romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de los problemas de Regla de Tres.  En la Edad Media los árabes dieron a conocer la Regla de Tres. Leonardo de Pisa la difundió  a principios del siglo XIII, en su “Liber Abacis”, con el nombre de Regla de los Tres Números Conocidos; Regla de los Mercaderes; Regla Aurea; y también con el de Regla de los Traficantes.

47- El Tanto por Ciento aparece en las principales obras de Aritmética de los escritores italianos del siglo XV.  El signo del Tanto por Ciento (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de ciento( Cto.), que se empleaba en las operaciones mercantiles.  El primero que utilizó el signo tal como lo usamos hoy fue Delaporte, que en 1685 lo expuso en su libro “ Le Guide des Negotien”, (Guía del Comerciante).

48- El origen del préstamo con interés (usura)es remoto.  Los prestamistas de la Edad Media cobraban a los particulares hasta un 43% anual; en las operaciones comerciales el tipo de interés fluctuaba entre un12% y un 24% anual.  Al fundarse lo que puede ser llamado el primer banco en el sentido moderno, en 1407, la “ Casa de San Giorgio”, en Génova, el interés bajó a un 10% y menos.

49- El origen de la Letra de Cambio puede ubicarse en las Ferias de Flandes y Champaña.  Surge al hacerse más complejas las operaciones mercantiles.  Hacia el siglo XII se establece la práctica de pagar, mediante promesa escrita, una cantidad en un lugar distinto de aquel en que se contrae la deuda.  El pago se podía hacer al nuntius (representante) del acreedor, o hacerlo mediante un representante del deudor.

50- Los pueblos más civilizados de América, tales como el azteca, maya e inca, alcanzaron un considerable desarrollo en las ciencias matemáticas, como podemos ver a través de su sistema de numeración.  Resulta indudable que ellos aplicaron una regla rudimentaria para el repartimiento proporcional, al tener que resolver los problemas de distribución de los productos agrícolas entre los miembros de las tribus.

51- Las primeras compañías se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX.  Un italiano, Leonardo de Pisa, tomó la regla para resolver los problemas de reparticiones de las ganancias o pérdidas  de las compañías, de la Aritmética Comercial que se atribuye a Abul ‘l Wefa, de Bagdad (940-998 D. C.).

52- El promedio y la probabilidad son las bases de la ciencia actuarial moderna.  Se da por un hecho histórico irrefutable que la Estadística en su concepto más reciente, debe su origen al juego de azar.  Cuéntase que estando Pascal en una taberna, Antonio Gombaud, caballero de Meré, le propuso un problema basado en el juego de dados.  Pascal le dio solución, fundando en 1654 la Teoría de las Probabilidades.

53- Griegos y romanos conocían la Regla de Aligación, que usaban en su constante comercio de vinos con los fenicios.  Los escritores italianos del siglo XV, dieron a conocer en sus aritméticas comerciales, numerosos problemas de mezcla y aligación que habían tomado de los griegos y romanos.  Entre 28 reglas que expone Tartaglia, en su Aritmética Comercial de 1556, incluye la Regla de Mezcla o Aligación.

54- La aleación más antigua que se conoce es el bronce.  Toda una etapa de la prehistoria se caracteriza por este descubrimiento del hombre, es decir, la aleación del cobre con el estaño.  La producción de las minas explotadas por los fenicios junto al Mar Rojo era entregada al Rey Salomón, a cambio de oro, perfumes y especias.

55- Desde muy antiguo la emisión de monedas se hacia para conmemorar algún hecho histórico o para rendir homenaje a algún gran personaje.  La decadrachma (moneda griega) data del 480 A. C. y se emitió para celebrar la derrota de los cartagineses a manos de los griegos en la famosa batalla de Himera.  La moneda era de plata  y tenia una figura alegórica rodeada de peces.  Poseía un valor de diez drachmas.

56- Las primeras operaciones mercantiles se hacían como simple trueque de mercancías.  En plena Edad Media existían mercados adonde concurrían traficantes de todas las latitudes.  En el siglo XI, fue famoso como mercado de trueques, en Bizancio, Karim-Erzerum, donde se daban cita los mercaderes del norte de Europa, los de China, los de la India, etc.  Tales trueques se resolvían por medio de la Regla Conjunta.

57- El primer tipo de seguro en gran escala que se practicó fue el seguro marítimo.  La organización mas poderosa de seguros que existe en el mundo se conoce como el Lloyd.  Debe su nombre a que los primeros aseguradores se reunían en un cafetín de Londres, propiedad de Eduardo Lloyd.  A mediados del siglo XVII, este cafetín de Lloyd se convirtió en una verdadera bolsa de seguros de todas clases.






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